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趣题:如果每次只增加一个区域的话

更新时间:2020-10-15 14:47

  

趣题:如果每次只增加一个区域的话

著名的四色定理(four color theorem)告诉我们,如果一个地图由若干个连通区域构成(没有飞地),那么在给每个区域染色时,为了让相邻区域的颜色不同,最多只需要四种颜色就足够了。不过,这个结论成立有一个条件:整个地图已经事先确定了。如果我们每次只增加一个区域的话呢?具体地说,如果每次你给一个区域染色之后,我再画出下一个区域,并且之前已经染好颜色的区域不能再修改了,那么四种颜色还足够吗?这里,我们假设,在染色时,你总是遵循一个非常朴素的贪心策略:用第一个合法的颜色给每个新的区域染色。下面这个例子告诉我们,在这些假设下,四种颜色就不够了,有时五种颜色是必需的。

我们的问题就是,在这些假设下,五种颜色就一定够吗?有没有可能构造出某个情况,使得六种颜色是必需的?有没有可能构造出某个情况,使得七种颜色是必需的?

事实上,对于任意的正整数 n ,我们都能构造出某个情况,使得 n 种颜色是必需的。下图显示的是 n = 6 的情况,我们很容易把它扩展到任意大的正整数 n 。

你可以在这里看到更多有关于这个问题的讨论:

2016 年 4 月 21 日2016-04-22 / 图论, 惊奇数学事实, 算法, 趣题

26 条评论

Fondking.

已阅,,

2016年4月22日 17:16 /

aes

其实。。。。。。。。。。。。。。。。。。我并没有看懂

2016年4月22日 17:18 /

宠哥

其实。。我刚才突然又看懂了,,,就是不知道 第一个合法颜色啥意思??

2016年4月22日 17:21 /

一中9 4

,,恍然大明白

2016年4月22日 17:24 /

WangNianyi2001

先马再看

2016年4月22日 19:55 /

antior

已阅^_^

2016年4月22日 23:37 /

赵二呆

其实。。。。。。。。。。。。。。。。。。我并没有看懂

2016年4月26日 10:34 /

12hedron

最後一張圖很像 Von Neumann 的序數定義:

另外可以參考:
https://en.wikipedia.org/wiki/Sprague%E2%80%93Grundy_theorem

2016年4月30日 06:17 /

rmy

如果不是贪心而是已知n,有一个人染色,一个人画图,那么一定能用超过n的颜色吗?

2016年5月14日 19:54 /

Fwinwret

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